فیبوناچی و نسبت طلایی

نکته: برای ایجاد یک ترکیب پر از تنش از مارپیچ برای عکسهای خود استفاده کنید. با ساختن یک تصویر Canvas Print ، تصویر را در یک اثر هنری با قالب بزرگ به نمایش بگذارید!

۩۩۩ خداوند بزرگترین ریاضیدان است ۩۩۩

عدد گنگی است که تقریبا برابر با و دربسیا ری از جاها این نسبت رعایت شده است وهر انسانی در زندگی روزمره خود با آن کار می کند.

این نسبت چگونه بدست می آید؟

یکی از شگفتیهای بزرگ اعداد است. فای از دوران باستان شناخته شده و در زمینه های هنر و معماری بسیار به کار برده شده است لیکن تحقیقاتی که اخیرا" روی آن شده نقش حیرت انگیز و باور نکردنی آنرا در طبیعت بیشتر آشکار ساخته است. نسبت طلایی یا عدد طلایی عددی است تقریبا" برابر 1.618 و تحقیقا" برابر

که ظاهرا" هیچ فرقی با اعداد گنگ دیگر ندارد جز آنکه مقدار عددیش متفاوت است. اما در حقیقت عددی است بسیار مخصوص و اسرار آمیز. این عدد چطور بوجود میاید؟

مربع ABCD را در نظر بگیرید با طول ضلع یکواحد( شکل زیر ). نقطه ی O وسط ضلع CB است. به مرکز این نقطه و به شعاع OA کمانی بکشید تا امتداد CB را در نقطه ی Q قطع کند. مربع مستطیل PQCD یک "مستطیل طلایی" است و نسبت طول به عرض آن برابر 1.618 میباشد.

گفته شده است که چنین مستطیلی به چشم انسان زیباتر از سایر مستطیل ها است. بهمین دلیل از دوران باستان تا به امروز در معماری بسیار به کار رفته است و امروز هم وقتی میخواهند چیزی را مستطیل شکل بسازند که چشم نواز هم باشد آنرا به شکل مستطیل طلایی میسازند یعنی اگر طولش را بر عزضش تقسیم کنیم عددی نزدیک به 1.6 بدست میاید. به عنوان مثال کارتهای اعتباری، گواهینامه رانندگی و کارتهای تلفن همگی به مستطیل طلایی نزدیک اند. نسبت طلایی در ساختمان بسیاری از قسمتهای بدن انسان منجمله دست، صورت، ضربان قلب، اندازه DNA و غیره، همچنین در ساختمان بدن گیاهان و جانوران مشاهده شده است. مثلا" نسبت طول ساعد انسان (از آرنج تا مچ دست) را بر طول کف دست برای تعداد زیادی از انسانها محاسبه کرده و معدل گرفته اند : عددی نزدیک به 1.6 بدست آمده است. (در مورد من این نسبت 27 cm به 19 cm است که برابر 1.42 میباشد)

و نیز وقتیکه مولکول DNA را در یک مستطیل محاط کنید بطوریکه اضلاع مستطیل مماس بر آخرین اتمهای مولکول از چهار جهت باشند، مستطیل طلایی بدست خواهد آمد.

حتی در انجیل نیز اشاره ای به نسبت طلایی شده است، بهمین دلیل این نسبت را از قدیم "نسبت الهی" هم گفته اند و گروهی را عقیده بر این است که در خلقت جهان هستی و کاینات این نسبت نقش ویژه ای دارد.

رشته ی فیبوناچی که توسط کشیشی مسیحی به همین نام(Leonardo Fibonacci, 1170-1240 ) ساخته شد رشته ایست که هر ترم آن از جمع کردن دو ترم قبلی اش بوجود میاید. اگر این رشته را با صفر شروع کنیم، بیست ترم اول آن خواهد شد

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181

اگر هر ترم فیبوناچی و نسبت طلایی این رشته را بر ترم قبلی اش تقسیم کنیم، نسبت طلایی بدست میاید و هر چه که دو ترم انتخاب شده بزرگتر باشند خارج قسمت آنها به مقدار تحقیقی نسبت طلایی نزدیکتر میشود. البته اجباری نداریم رشته فوق را با صفر شروع کنیم، میتوانیم آنرا با هر عدد مثبت دلخواهی( بعنوان ترم یکم )شروع کنیم وآنرا با عدد قبلی اش جمع نماییم تا ترم دوم بدست آید و این ترم را نیز با ترم قبلی اش جمع کنیم تا ترم سوم حاصل شود و همینطور. این رشته البته دیگر رشته فیبوناچی نیست و ما میتوانیم مثلا" نام خودمان را روی آن بگذاریم! بعنوان مثال اگر ترم اول را 81 انتخاب کنیم، آنگاه خواهیم داشت :

81, 161, 242, 403, 645, 1048, …

در اینجا نیز اگر هر ترم را بر ترم قبلی اش تقسیم کنیم، خارج قسمت، "نسبت طلایی" خواهد شد و هر چه جلوتر برویم این نسبت دقیقتر میشود.

حالا یک عدد مثبت انتخاب کنید و آنرا وارد یک ماشین حساب نمایید. جذر آنرا بگیرید و به آن یکواحد اضافه کنید. باز جذر عدد حاصل را بگیرید و به آن یکواحد اضافه کنید و اینکار را چندین مرتبه تکرار نمایید. با کمال تعجب خواهید دید که حاصل محاسبات پس از نوسانهای زیاد به نسبت طلایی نزدیک میشود و هر چه چرخه فوق را بیشتر تکرار کنید به مقدار تحقیقی آن نزدیکتر خواهید شد. اگر عدد انتخابی شما یک باشد، آنگاه نسبت طلایی برابر خواهد شد با :

این مرتبه عدد مثبت دلخواه دیگری بگیرید، آنرا معکوس کنید و به آن یکواحد اضافه نمایید. حاصل را باز معکوس کنید و به آن یکواحد اضافه نمایید و اینکار را چندین مرتبه دیگر هم تکرار کنید. باز پس از نوسانهای زیاد، به نسبت طلایی میرسید. اگر این مرتبه نیز عدد انتخابی شما یک باشد، آنگاه نسبت طلایی برابر خواهد شد با :

آنچه قابل ملاحظه است اینستکه محاسباتی که در سه چهار آزمایش فوق انجام گرفت، الگوریتمی کاملا" متفاوت با هم دارند :

" جمع کردن با ترم قبلی " و " جذر گرفتن و اضافه نمودن یک " و " معکوس نمودن و اضافه کردن یک " ماهیتی کاملا" متفاوت دارند ولی با کمال تعجب حاصل همگی یک چیز است : نسبت طلایی.

از تقسیم پاره خط به دو قسمت به طوری که نسبت طول قطعه بزرگ تر به طول تمام پاره خط، مساوی با طول قطعه کوچک تر به قطعه بزرگ تر باشد. این نسبت در قدیم به تقسیم خط به نسبت ذات وسطین و طرفین (یا تقسیم توافقی) معروف بوده است که معادل آن به صورت اعشاری در حدود 1.618 خواهد فیبوناچی و نسبت طلایی بود که این عدد همان عدد فی می باشد و یکی از خواص آن این است که اگر یک واحد از آن کسر کنیم مقدار آن برابر عکس خودش می شود.
نتایج تحقیقات فراوان علمی و روان شناسی اعلام می کند که زیباترین سطوح و اشکال از نظر انسان ها، آنهایی هستند که در ابعاد آنها نسبت طلایی به کار رفته باشد.

تعبیر هندسی دیگر اینگونه‌است: پاره خط AB و نقطهٔ M روی آن مفروضند به گونه‌ای که نسبت a به b برابر است با نسبت a+b به a . این نسبت برابر φ است. یعنی:

پیشینه توجه به عدد طلایی نه به زمان فیبوناچی بلکه به زمانهای بسیار دورتر می‌رسد.اقلیدس در جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آنها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد، این نسبت را مطرح کرده‌است. لوکا پاچیولی The Divine Proportion ) تالیف کرد. وی در آن نقاشی‌هایی از لئوناردو داوینچی آورده‌است که پنج جسم افلاطونی را نمایش فیبوناچی و نسبت طلایی می‌دهند و در آنها نیز به این نسبت اشاره شده‌است. در سال ۱۵۰۹ میلادی کتابی با عنوان نسبت الهی (

مصریان، سالها قبل از میلاد از این نسبت آگاه بوده‌اند و آن را در ساخت اهرام مصر رعایت کرده‌اند. بسیاری از الگوهای طبیعی در بدن انسان این نسبت را دارا هستند. نسبت طول ضلع پنج پر منتظم به طول ضلع پنج ضلعی منتظم برابر همین عدد است. روانشناسان هم بر این باورند زیباترین مستطیل به دید انسان، مستطیلی است که نسبت طول به عرض آن برابر عدد طلایی باشد

برای بدست آوردن نسبت طلائی از تعریف هندسی آن استفاده می‌کنیم:

از این معادله که تعریف عدد است، که از معادله سمت راست می‌توان نتیجه گرفت: ، پس خواهیم داشت:

با حذف b از طرفین به دست می‌آید:

پس از ساده سازی این معادله، معادله درجه دومی بر حسب به دست می‌آید:

که همان نسبت طلائی است

اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در فیبوناچی و نسبت طلایی آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا” 1.61804 می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi 2 =phi+b 2 خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا” عدد طلایی را با phi نمایش می دهند)

طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا” معادل 440 متر می باشد بنابر این نسبت 356 بر 220 (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد.

کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : “هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فيثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلايي می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد”.

تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد. کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی پیدا کرد.

نسبت طلایی در خوشنویسی

استاد میرعماد با پالایش خطوط پیشینیان و زدودن اضافات و ناخالصی‌ها از پیکره نستعلیق و نزدیک کردن شگرف نسبت‌های اجزای حروف و کلمات، به اعلا درجه زیبایی یعنی نسبت طلایی رسید و قدمی اساسی در اعتلای هنر نستعلیق برداشت. با بررسی اکثریت قاطع حروف و کلمات میرعماد متوجه می‌‌شویم که این نسبت به عنوان یک الگو در تار و پود حروف و واژه‌ها وجود دارد و زاویه ۴۴۸/۶۳ درجه که مبنای ترسیم مستطیل طلایی است، در شروع قلم گذاری و ادامه رانش قلم، حضوری تعیین کننده دارد. این مهم قطعاً در سایه شعور و حس زیبایی‌شناسی وی حاصل آمده، نه آگاهی از فرمول تقسیم طلایی از دیدگاه هندسی و علوم ریاضی. میرعماد این نسبت‌ها را نه تنها در اجزای حروف بلکه در فاصله دو سطر و مجموعه دو سطر چلیپاها و کادرهای کتابت و قطعات رعایت می‌‌کرده است.

و در آخر نمونه های از نسبت طلایی:

(بعضی از نمونه برای توضیح بیشتر درمتن از آن ها نامبرده شده است)

وقتیکه مولکول DNA را در یک مستطیل محاط کنید بطوریکه اضلاع مستطیل مماس بر آخرین اتمهای مولکول از چهار جهت باشند، مستطیل طلایی بدست خواهد آمد.

" نسبت طول ساعد انسان (از آرنج تا مچ دست) را بر طول کف دست برای تعداد زیادی از انسانها محاسبه کرده و معدل گرفته اند : عددی نزدیک به 1.6 بدست آمده است.

. نسبت طول ضلع پنج پر منتظم به طول ضلع پنج ضلعی منتظم

دارای نسبت طلایی هستند
نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا
نسبت فاصله شانه تا بالای سر به اندازه سر
نسبت فاصله ناف تا بالای سر به فاصله شانه تا بالای سر
نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا

نسبت طلایی چیست؟

این آموزش شامل همه مواردی است که باید در مورد نسبت طلایی بدانید..

نسبت طلایی چیست؟

نسبت طلایی یک قاعده ترکیبی است که مربوط به دوران باستان است. این قاعده نسبت هایی را توصیف می کند که به چشم مردم خوشایند است. نسبت طلایی غالباً در طبیعت و حتی در بدن انسان یافت می شود و در هنر ، معماری و حتی تایپوگرافی بسیار تأثیرگذار است.

جنبه ریاضی نسبت طلایی

اگر بخواهیم به ساده‌ترین روش بیان کنیم، نسبت طلایی (فیبوناچی و نسبت طلایی که به نام‌های قطعه طلایی، میانگین طلایی، نسبت الهی یا حرف فی یونانی نیز شناخته می‌شود) زمانی به دست می‌آید که یک پاره‌خط به دو بخش تقسیم شود و اگر بخش طولانی‌تر (a) را بر بخش کوتاه‌تر (b) تقسیم کنیم، برابر با تقسیم مجموع (b) + (a) بر (a) باشد که هر دو مقدار برابر با 1.618 هستند. Euclid اولین کسی بود که توصیف کتبی نسبت طلایی را در حدود 100 سال ارائه داد. 360-280 قبل از میلاد

اما این همه فرمول ریاضی، نباید شما را نگران کند. نسبت طلایی در طراحی به خاطر جنبه زیبایی‌شناختی‌اش استفاده می‌شود و از طریق ایجاد هماهنگی و تناسب، باعث ایجاد حس زیبایی می‌شود. وقتی این نسبت در طراحی به کار گرفته می‌شود، یک حس هنری می‌آفریند و به صورت عامل ناپیدایی عمل می‌کند که توضیح آن دشوار است.

این هماهنگی و تناسب، قرن‌هاست که شناخته شده است. نسبت طلایی از هرم فراعنه مصر تا معبد پارتنون در آتن و از طراحی صحنه خلق حضرت آدم در سقف کلیسای سیستین به دست میکل آنژ تا نقاشی مونالیزای داوینچی و لوگوی پپسی تا لوگوی توییتر همه جا دیده می‌شود. حتی بدن و چهره ما نیز از این نسبت طلایی تبعیت می‌کنند.

نسبت طلایی و دنباله فیبوناچی

در سال 1202 ، لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان مجموعه ای از اعداد منطقی را توصیف کرد که هنگام ورود اصطلاحات مجاور به فرمول نسبت طلایی ، نزدیکترین تقریب Phi را به دست می آورند. توالی فیبوناچی را می توان در طبیعت مشاهده کرد ، نه دقیقاً در رشد جمعیت خرگوش، اما در وقایع طبیعی مانند ترتیب برگ در گیاهان مشاهده می شود. توالی فیبوناچی با عدد 1 (یا بعضی اوقات 0) شروع می شود ، و هر عدد حاصل جمع دو اصطلاح قبلی است. بنابراین اولین اعداد 1 ، 1 ، 2 ، 1 + 2 = 3 ، 2 + 3 = 5 ، 8 ، 13… و غیره خواهند بود.

این سری از اعداد رابطه مستقیمی با نسبت طلایی دارند. هرچه عدد در توالی بزرگتر باشد ، نسبت آن با عدد مجاور به عدد طلایی phi نزدیکتر خواهد بود.

نسبت طلایی در عکاسی

در عکاسی ، شما می توانید از نسبت طلایی به عنوان ابزاری مفید برای ایجاد ترکیب های هماهنگ و دلپذیر استفاده کنید. از آنجا که مرکز یک تصویر اغلب به صورت ساکن یا غیر جالب درک می شود ، این تقسیم فضا اغلب در ترکیب بصری استفاده می شود. عکس با توجه به نسبت طلایی به نه مستطیل در امتداد دو خط افقی و عمودی تقسیم شده است. این معمولاً به عنوان شبکه فی شناخته می شود.

سپس تصویر با عناصر مهم در امتداد خطوط و در تقاطع های آنها ساخته شده است. به عنوان مثال ، افق در امتداد یکی از خطوط عمودی قرار دارد ، در حالی که یک فرد در پیش زمینه در امتداد یکی از خطوط عمودی قرار گرفته است.

نکته: برای جلب توجه مردم می توانید تصویر خود را درست خارج از شبکه phi بسازید - این هماهنگی را از بین می برد و تنش بیشتری ایجاد می کند. با استفاده از این روش می توانید هر عکس پاییزی را به یک اثر هنری تبدیل کنید!

نسبت طلایی در هنر

نسبت طلایی که به آن نسبت الهی نیز گفته می شود را می توان در طول تاریخ هنر مشاهده کرد که مربوط به دوران باستان است. به عنوان مثال ، مجسمه معروف Venus de Milo از الهه افرودیت بین 100 تا 130 سال قبل از میلاد ساخته شده است و دارای نسبت های طلایی است.

در رنسانس ، ساخته های لئوناردو داوینچی همچنین از نسبت الهی استادانه استفاده می کنند. نقاشی وی "شام آخر" با نسبت های طلایی ساخته شده است.

مونالیزا با شهرت جهانی نیز از یک "مثلث طلایی" تشکیل شده است - مثلث متساوی الاضلاع که طول اضلاع و پایه نسبت طلایی ایجاد می کند.

این ترکیب را برای عکسهای پرتره خود امتحان کنید و مثلث طلایی را آزمایش کنید. این یک ترکیب چشمگیر ایجاد می کند که مردم آن را متعادل و هماهنگ می دانند. نکته ما؟ هنگامی که ترکیب را میخ کردید ، یک چاپ عکس اکریلیک با کاغذ عکس Kodak Pro Endura با کیفیت بالا را برای رنگ های درخشان و کنتراست های قدرتمند سفارشی کنید.

تناسبات طلایی رشته مشترک آثار بزرگان مانند رافائل نقاش ایتالیایی است. "پیروزی گالاته" وی شامل دو بخش است. نه تنها پیش زمینه Galatea رافائل آسمانها را از زمین جدا نمی کند ، بلکه بخشهای طلایی قطعه را نیز مشخص می کند. همچنین می توانید یک بخش نامرئی در "Sistine Madonna" - این بار در امتداد ناف مدونا - پیدا کنید.

سلف پرتره هنرمند آلمانی آلبرشت دورور با کت خز (از حدود سال 1500) نقاش را در ژستی نشان می دهد که به طور سنتی برای عیسی یا پادشاهان اختصاص داشت. موهای دورور مثلثی را ایجاد می کند که قطعه را به بخشهای طلایی تقسیم می کند. صورت نقاش را نیز خطوط عمودی قاب می گیرند که نقاشی را با توجه به نسبت طلایی ساختار می دهند.

نسبت طلایی در صورت و بدن

لئوناردو داوینچی با "مرد ویترووی" خود یک سیستم اندازه گیری قابل توجه برای نسبت طلایی بر اساس بدن انسان ایجاد کرد.

امروزه ، جراحی پلاستیک بر اساس نسبت طلایی ساخته شده است ، زیرا از آن به ویژه خشنود و زیبا یاد می شود. هرچه نسبت بدن و نسبت صورت نسبت به الهی نزدیکتر باشد ، فرد جذابیت بیشتری نیز دارد. طبق مطالعات انجام شده توسط جراح پلاستیک آمریکایی استفان مارکوارت ، مردم وقتی ایده آل می شوند که عرض بینی در phi برابر با عرض دهان شود.

نسبت طلایی در معماری

معابد باستان از قبل با توجه به نسبت طلایی ساخته شده اند. به عنوان مثال هرم بزرگ جیزه (حدود 2590-2470 ق.م.) با معیارهای امروزی کاملاً متناسب است. پارتنون در آتن ، که در حدود سال 450 قبل از میلاد ساخته شده است ، نسبت های طلایی را نیز تقریباً نزدیک می کند.کلیسای جامع سنت پیتر و کلیسای جامع کلن نیز با توجه به نسبت الهی ایجاد شده اند.

نسبت های طلایی در طبیعت: مارپیچ طلایی ناوتیلوس

اگر یک مستطیل را با توجه به نسبت طلایی تقسیم کنید ، سپس نیمه کوچکتر را به همان شکل و غیره تقسیم کنید ، در نهایت ، چندین چهار ضلعی تو در تو خواهید داشت. مانند توالی فیبوناچی ، طول ضلع ها برابر با مجموع طول دو مستطیل است که به آنها تقسیم شده است. اگر گوشه ها با استفاده از یک خط منحنی به هم متصل شوند ، این یک مارپیچ لگاریتمی را ایجاد می کند ، همچنین به عنوان مارپیچ طلایی شناخته می شود.

پوسته ناوتیلوس به صورت مارپیچی مشابه رشد می کند که حتی در اندازه بزرگ شدن نیز شکل منحنی آن تغییر نمی کند. این مارپیچ متقارن اغلب در طبیعت ظاهر می شود: در طوفان ها ، سرخس ها و حتی درکل کهکشان ها

نکته: برای ایجاد یک ترکیب پر از تنش از مارپیچ برای عکسهای خود استفاده کنید. با ساختن یک فیبوناچی و نسبت طلایی تصویر Canvas Print ، تصویر را در یک اثر هنری با قالب بزرگ به نمایش بگذارید!

چه درقلمرو حیوانات و چه در بدن انسان ، نسبت طلایی یک پدیده جذاب است که ریشه آن ناشناخته مانده است. کارل فردریش فون وایزاکر فیزیکدان و فیلسوف آلمانی این راز را خلاصه کرد و گفت: "شاید ریاضیات پنهان همه جا حاضر ، دلیل وجود همه زیبایی ها باشد."

عجایب اعداد فیبوناچی

تبيان/ اعداد فيبوناچي در هستي کشف شده اند. در قسمت لاک حلزون از زاويه في استفاده شده است. شاخ و برگ درخت ها به صورت تصادفي در جهات مختلف رشد نمي کنند. اندازه گيري زاويه شاخه ها نشان مي دهد که در الگوي رشد آن ها، نظمي شبيه دنباله فيبوناچي و نسبت طلايي وجود دارد. سري فيبوناچي اگر به رياضيات علاقه داشته باشيد، حتما با "سري فيبوناچي" آشنا هستيد. سري فيبوناچي رشته ‌اي از اعداد است که در آن اعداد غير از دو عدد اول با محاسبه‌ ي مجموع دو عدد قبلي ايجاد مي‌شوند. اولين اعداد سري فيبوناچي عبارت‌اند از: ۰٬ ۱٬ ۱٬ ۲٬ ۳٬ ۵٬ ۸٬ ۱۳٬ ۲۱٬ ۳۴٬ ۵۵٬ ۸۹٬ ۱۴۴٬ ۲۳۳٬ ۳۷۷٬ ۶۱۰٬ ۹۸۷٬ ۱۵۹۷٬ ۲۵۸۴٬ ۴۱۸۱ "عدد في" از دنباله ي فيبوناچي مشتق شده است، تصاعد مشهوري که شهرتش تنها به اين دليل نيست که هرجمله با مجموع دو جمله ي پيشين خود برابري مي کند. بلکه به اين دليل است که خارج قسمت هر دو جمله ي کنار هم خاصيت حيرت انگيزي نزديک به عدد 1.618 را دارد که به "نسبت طلايي" مشهور است. اين اعداد به نام لئوناردو فيبوناچي رياضيدان ايتاليايي نام گذاري شده‌است. وي نخستين رياضيدان بزرگ اروپا در قرن سيزدهم است که بيشتر فعاليت هايش از آثار رياضيدان‌هاي مسلمان به خصوص خوارزمي، کرجي و ابوکامل تأثير پذيرفته است.در دوران حيات فيبوناچي مسابقات رياضي در اروپا بسيار مرسوم بود در يکي از همين مسابقات که در سال ۱۲۲۵ در شهر پيزا توسط امپراتور فردريک دوم برگزار شده بود مسئله زير مطرح شد: «فرض کنيم خرگوش‌هايي وجود دارند که هر جفت (يک نر و يک ماده) از آنها که به سن ۱ ماهگي رسيده باشند به ازاء هر ماه که از زندگي‌شان سپري شود يک جفت خرگوش متولد مي‌کنند که آنها هم از همين قاعده پيروي مي‌کنند حال اگر فرض کنيم اين خرگوشها هرگز نمي‌ميرند و در آغاز يک جفت از اين نوع خرگوش در اختيار داشته باشيم که به تازگي متولد شده‌اند حساب کنيد پس از n ماه چند جفت از اين نوع خرگوش خواهيم داشت.» حال اگر تعداد خرگوش ها را در ماههاي اول و دوم و . حساب کنيم به دنباله زير خواهيم رسيد که به دنباله فيبوناچي مشهور است. ۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴,… فيبوناچي با حل اين مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان رياضيات معرفي فیبوناچی و نسبت طلایی کرد که خواص شگفت‌انگيز و کاربردهاي فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر رياضي‌دانان بلکه دانشمندان بسياري از رشته‌هاي ديگر را به خود جلب کرده است. در قسمت لاک حلزون از زاويه في استفاده شده است اعداد فيبوناچي در قالب طبيعت با وجود گستردگي طبيعت و وجود انواع موجودات پيرامون انسان‌ها، نظم خاصي بر همه چيز حاکم است که با پيشرفت علوم بشري، اين نظم بيش از پيش مشخص‌تر مي‌شود. شايد در زمان يادگيري برخي از مفاهيم علمي، بسياري از موارد بي معني به نظر برسد، اما نظم خاصي در پشت همه چيز نهفته است. رياضيات يکي از علوم پايه است که کشف اسرار آن، کليد حل معماي موجود در طبيعت است. اعداد فيبوناچي در هستي کشف شده اند. در قسمت لاک حلزون از زاويه في استفاده شده است. شاخ و برگ درخت ها به صورت تصادفي در جهات مختلف رشد نمي کنند. اندازه گيري زاويه شاخه ها نشان مي دهد که در الگوي رشد آن ها، نظمي شبيه دنباله فيبوناچي و نسبت طلايي وجود دارد. درختان با پيروي از اين نوع الگوي رشد، قادرند درصد بيشتري از نور خورشيد را جذب کنند. نسبت طلايي (1.618) در ساختار آفتابگردان نيز بکار رفته است دانه هاي آفتابگردان به شکل مارپيچ هايي روبروي هم رشد مي کنند. طبق تحقيقات انجام شده نسبت قطر هر مارپيچ به مارپيچ بعدي 1.618 است. حتي در ساختار شکل گوش ما هم از اين اعداد تبعيت شده است. نسبت طلايي (1.618) در آناتومي بدن انسان نيز بکار رفته است. اگر قد خود را بر فاصله عمودي ناف تا نوک انگشتان خود تقسيم کنيد، تقريبا عدد 1.618 را بدست مي‌آوريد. با تقسيم طول بازوي خود از نوک انگشت بزرگ تا بالاي شانه، بر فاصله نوک انگشت بزرگ تا آرنج خود نيز به اين نسبت مي‌رسيد. از آنجايي که اين نسبت در بسياري از اندازه‌هاي بدن انسان وجود دارد، از آن به نام نسبت الهي نيز ياد مي‌شود. علاوه بر طبيعت، از زمان باستان بسياري از هنرمندان و معماران نيز از رابطه‌هاي رياضي و هندسي در آثار خود استفاده مي‌کردند. براي مثال مي‌توان به آثار تاريخي باقي مانده از دوران مصر باستان، يونان و رم اشاره کرد. مثلا معبد معروف پارتنون بهترين مثال از کاربرد نسبت طلايي (1.618) است. نسبت عرض به طول پنجره‌هاي مستطيل شکل معبد همگي برابر نسبت طلايي است. در اهرام مصر نيز اين نسبت بخوبي رعايت شده است. طول هر ضلع قاعده هرکدام از اهرام به ارتفاع آن، معادل نسبت طلايي مي‌باشد.

عدد طلایی ​چیست؟

یکی از کلیشه‌ای‌ترین و شاید تاریخی‌ترین سوال‌های دانش‌آموزان درخصوص درس ریاضی این است که ریاضی و فرمول‌های متعدد آن در زندگی ما چه کاربردی دارد.

برای پاسخگویی به این سوال با همکاری دانش‌آموزان دبیرستان نمونه دولتی حیدری موسوی شهرستان هشترود، کارگاهی آموزشی درباره عدد 1.618 و کاربردهای آن برگزار کردیم. گذشته از نحوه گروه‌بندی، اجرا و جزئیات این طرح ـ که برای نخستین بار در آموزش و پرورش کشور انجام شد ـ در این طرح که طرحی نو در آموزش ریاضی است، موضوعات مختلف و کاربردی- ریاضی درسی​که در سطح بین‌الملل نیز دارای تازگی و پویایی است ـ مورد بررسی قرار گرفت.

نسبت طلایی یا همان عدد 1.618 یکی از زیبایی‌های دنیای ریاضی است که در گوشه و کنار این دنیای بزرگ از اندام‌های بدن انسان تا آثار برجسته و مشهور هنری و معماری در سطح دنیا و حتی نحوه رشد دانه‌های گل آفتابگردان می‌توان ردپایی از آن پیدا کرد. بسیاری از کارشناسان بر این باورند ​ هر اثر هنری که در آن نسبت طلایی رعایت شده باشد، منحصر به فرد است. جالب​این که در کاغذهای استاندارد سری A نیز نسبت طول به عرض با نسبت طلایی برابر است. به همین دلیل، محققان بر این باورند​ زیباترین سطوح و اشکال آنهایی است که نسبت طلایی در آنها به کار رفته باشد.

عدد 1.618 که به عدد یا نسبت طلایی یا نسبت فیبوناچی نیز شهرت دارد، حاصل تلاش دانشمندانی ازجمله اقلیدس، لوکاپاچیولی و لئوناردو فیبوناچی است. شما می‌توانید در حوزه‌های مختلف ردپایی از نسبت طلایی را پیدا کنید. یکی از این حوزه‌ها​ هندسه است. اگر در پاره خطی، نسبت قسمت بزرگ‌تر به کوچک‌تر برابر با نسبت کل خط به قسمت بزرگ باشد، این نسبت قطعا عدد طلایی است.

یکی دیگر از حوزه‌هایی که نشانی از نسبت طلایی در آن پیدا می‌کنید، دنباله فیبوناچی است. در این دنباله که عبارت است از 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21 و. اگر اعداد پس از 2 را در نظر بگیریم و هر کدام را به عدد ماقبل خود تقسیم کنیم، شاهد اعدادی بسیار نزدیک به عدد نسبت طلایی یا 1.618 خواهیم بود. هر چه بیشتر این تقسیم را ادامه دهید، عدد حاصل به نسبت طلایی نزدیک‌تر می‌شود.

گذشته از این در بسیاری از ساختارهای هستی می‌توانید نشانی از نسبت طلایی پیدا کنید؛ از مارپیچ‌های دی‌ان‌ای گرفته تا مارپیچ گوش انسان، حلزون، ساختار مارپیچی کهکشان‌ها و تمام زیبایی‌های طبیعت ازجمله برگ‌های درختان، خطوط و نقش و نگار روی پرهای طاووس و مارپیچ‌های آفتابگردان این نسبت رعایت شده است. این عدد در معماری باستان و معاصر ایران و جهان نیز کاربرد فراوانی داشته است. از آن جمله می‌توان به هرم جیزا در مصر، برج آزادی تهران، قلعه دالاهو در کرمانشاه، بنای بیستون کرمانشاه و مقبره ابن سینا در همدان اشاره کرد. برای مثال ابعاد بنای بیستون کرمانشاه پنج کیلومتر در سه کیلومتر ذکر شده که اعداد چهارم و پنجم دنباله فیبوناچی‌اند. با تقسیم این دو عدد​ به عدد 1.6 می‌رسیم که بسیار نزدیک به عدد طلایی است.

این عدد در بدن انسان نیز بسیار کاربرد دارد. زیبایی چهره، زیبایی خنده، تناسب اندام و خوش‌تیپی همه و همه از شاهکارهای الهی در آفرینش انسان است. اگر نگاهی به تاریخچه عدد طلایی بیندازید، می‌بینید لئوناردو داوینچی اولین نفری است که نسبت دقیق استخوان‌های انسان را اندازه‌گیری و ثابت کرد این نسبت ضریبی از عدد طلایی است. در سنجش تناسب اندام خود می‌توانید فاصله انگشتان پا تا ناف را بر فاصله ناف تا بالای سر تقسیم و حاصل را با عدد 1.618 مقایسه کنید. هر چه این عدد به 1.618 نزدیک‌تر باشد به این معنی است که شما تناسب اندام خوبی دارید. چنین نشانه‌هایی که در آنها می‌توان به نسبت طلایی رسید، در بدن انسان بسیار زیاد است.‌یکی از دیگر ویژگی‌های جالب توجه نسبت طلایی این است که اگر فاصله شهر مکه تا قطب شمال را بر فاصله این شهر تا قطب جنوب تقسیم کنیم، عددی بسیار نزدیک به عدد طلایی به دست می‌آید. بر این اساس می‌توان گفت شهر مکه در نقطه طلایی زمین قرار دارد. علاوه بر این، بررسی‌های انجام شده نشان داده است​ شهر مکه در نقطه طلایی عربستان و بنای کعبه در نقطه طلایی شهر مکه قرار دارد.

عددی که طلایی شد!!

در دنیای ریاضیات دانشمندان برای برخی از اعداد براساس کاربرد و تنوع حضور آن اعداد در علوم مختلف نام‌های مختلفی برگزیده‌اند. یکی از زیباترین و جالب‌ترینِ این نامگذاری‌ها عدد طلایی یا نسبت طلایی است!!

عدد طلایی در واقع یک عدد گنگ است و مقدار آن برابر است با

اما چرا آن را طلایی نامیدند؟!! مقدار تقریبی عدد طلایی برابر است با 1.618 و جالب است بدانید که:

• لئوناردو داوینچی اولین کسی بود که نسبت دقیق استخوان‌های انسان را اندازه‌گیری نمود و ثابت کرد که این نسبت برابر با عدد طلایی است.

• در سنجش تناسب اندام نسبت فاصله انگشتان پا تا ناف به فاصله ناف تا بالای سر یک عدد نزدیک به عدد طلایی است که هر چه نزدیک‌تر باشد، تناسب اندام بیشتر است.

• در یک چهره‌ی زیبا و ایده‌آل، نسبت فاصله‌ی چشم‌ها تا لب به فاصله‌ی لب تا چانه، و نیز نسبت عرض چشم‌ها و بینی به عرض لب، معادل عدد طلایی است .

• یکی از دیگر ویژگی‌های جالب عدد طلایی این است که اگر فاصله شهر مکه تا قطب شمال را بر فاصله این شهر تا قطب جنوب تقسیم کنیم، عددی بسیار نزدیک به عدد طلایی به دست می‌آید. بنابراین می‌توان گفت شهر مکه در نقطه طلایی زمین واقع شده‌است.

• ا ز مارپیچ‌های دی‌ان‌ای گرفته تا مارپیچ گوش انسان، حلزون، ساختار مارپیچی کهکشان‌ها و تمام زیبایی‌های طبیعت ازجمله برگ‌های درختان، خطوط و نقش و نگار روی پرهای طاووس و مارپیچ‌های آفتابگردان این نسبت رعایت شده است.

کِپلِر منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه‌ای که در یکی از کتاب‌های خود این‌گونه نوشت:

«هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می‌باشد که یکی از آن‌ها قضیه فیثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می‌باشد. اولین گنج را می‌توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد».

عدد طلایی را با حرف یونانی φ نمایش می‌دهند. فی ، نخستین حرف از نام «فیدیاس»، پیکرتراش زبده‌ی یونان باستان است که به احتمال زیاد این نسبت عددی را ده‌ها سال پیش از اقلیدس، در شیوه‌ی هنری‌اش لحاظ می‌کرده است.

مصریان، سال‌ها قبل از میلاد از این نسبت آگاه بوده‌اند و آن را در ساخت اهرام مصر رعایت کرده‌اند.

در معماری باستان و معاصر ایران نیز نشانه‌هایی از عدد طلایی دیده می‌شود. از آن جمله می‌توان به برج آزادی تهران، قلعه دالاهو در کرمانشاه، بنای بیستون کرمانشاه، مقبره ابن سینا در همدان، میدان نقش جهان و مسجد لطف‌الله در اصفهان و پل ورسک در مازندران اشاره کرد.

تعبیر هندسی عدد طلایی:

تعبیر هندسی عدد طلایی به این صورت است که اگر روی یک پاره‌خط دو قسمت نابرابر ایجاد می‌کنیم. نسبت کل پاره‌خط به بخش بزرگتر برابر است با نسبت بخش بزرگتر به کوچکتر و این همان عدد طلایی یا نسبت طلایی است.

مستطیل طلایی

مستطیلی است به مساحت واحد که طول آن یک واحد از عرضش بیشتر است. یعنی اگر طول مستطیل را a بنامیم، رابطه زیر بدست می‌آید.

پس می‌توان گفت عدد طلایی عدد مثبتی است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم، مربعش بدست می‌آید.

عدد طلایی در دنباله فیبوناچی:

در دنباله فیبوناچی ( برای آشنایی بیشتر با دنباله فیبوناچی به این مقاله مراجعه کنید.) اگر از عدد 2 به بعد، هر عدد را به عدد قبلی خود تقسیم کنید، مقداری نزدیک به 1.618 بدست می‌آورید که هر چه در دنباله پیش بروید، این عدد به عدد طلایی نزدیکتر خواهد بود.